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Competitive Exam Notes for Probability (प्रायिकता)

प्रायिकता के बारे में सभी

प्रायिकता

प्रायिकता का सिद्धांत आकस्मिक घटनाओं को समझने में सहायता करती है. प्रायिकता सिद्धांत ka
केंद्र आकस्मिक वस्तुएं या चर और घटनाएं हैं.

घटना को आम तौर पर एक प्रयोग के परिणाम के रूप में परिभाषित किया गया है. घटनाओं को निर्धारणात्मक या रूप में  या प्रायिकता (आकस्मिक) में वर्गीकृत किया जा सकता है।

निर्धारणात्मक घटना

जब एक प्रयोग समरूप शर्तों के तहत दोहराया जाता है और यह एक ही परिणाम का प्रदान करता है, तब इस प्रयोग को निर्धारणात्मक प्रयोग के रूप में जाना जाता है.

उदाहरण के तौर पर  यदि एक कार निर्बाध स्थिति में 50 किमी/घंटा से चलती है तो वह 100 किमी की दूरी 2 घंटे में तय करती है.

 प्रायिकता आकस्मिक घटना

एक प्रयोग में समान शर्त के दौरान बार-बार किया जाता है तो हर बार एक ही परिणाम नहीं निकलता है लेकिन परिणाम कई संभावित परिणामों में से एक हो सकता है, तो इस तरह प्रयोग को एक प्रायिकता प्रयोग या एक आकस्मिक प्रयोग के रूप में जाना जाता है और इन घटनाओं आकस्मिक घटनाओं के रूप में जाना जाता है.

उदाहरण के तौर पर यदि आज बारिश हो रही है, तो. शायद कल बारिश नहीं हो सकती. यदि एक सिक्का फेंका जाता है तो,परिणाम एक हेड या टेल हो सकता है.

सैंपल स्पेस

सैंपल स्पेस या यूनिवर्सल सैंपल स्पेस,अक्सर  S या U (“यूनिवर्स” से) चिह्नित किया जाता है, एक प्रयोग या आकस्मिक या प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का सेट है.

स्वतंत्र घटनाएं

यदि एक घटना किसी अन्य किसी पर कोई असर नहीं डालती है, तो ,तो इन घटनाओं को स्वतंत्र घटनाओं के रूप में जाना जाता है. यदि A और B स्वतंत्र घटनाएं है तो,

उदाहरण: एक आदमी दो समान पासे फेकता है. यदि उसके  पहले पासे में 3 आता है और दुसरे पासे में एक सम संख्या आती है, तो वह जीत जाता है. उसकी जीत की प्रायिकता ज्ञात कीजिये.

हल: A = पहले पासे में 3 आने की संभावना और B = दूसरे पासे में सम संख्या आने की संभावना

सशर्त प्रायिकता

एक घटना की सशर्त प्रायिकता एक और घटना की प्रायिकता है. मान लीजिये 52 पत्तो की एक ताश की गाड्डी में से आकस्मिक रूप से एक पत्ता निकाला जाता है और पाया जाता है की वह एक लाल पत्ता है, इस पत्ते के राजा होने की प्रायिकता, सशर्त प्रायिकता का एक उदाहरण है.

Iयदि घटना E2 पहले हो गयी है, तो E1 घटना होने की संभावना को इस प्रकार दर्शया जा सकता है

उदाहरण: 1 से 100 नंबर तक के एक नंबरों के सेट में एक नंबर को आकस्मिक रूप से चुना जाता है जो 3 के गुणज है . उसके 7 के भी गुणज होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये.

हल: विधि 1: सैंपल स्पेस S = {1, 2, 3………..100}

दिया गया है की चुना गया नंबर 3 का गुणज है, जिसका सशर्त सैंपल स्पेस S_1 = {3, 6,………99}.

अब नंबर का 3 और 7 दोनों का गुणज होना आवश्यक है, अत: इसका 21 का गुणज होना निश्चित है.
ऐसी 4 संख्याएं है : 21, 42, 63 और 84.

आवश्यक सैंपल स्पेस S_2 = {21, 42, 63, 84}

प्रायिकता = S2/S1 =4/33

विधि 2: मान लीजिये की E2 वह घटना है जो 3 से गुणज है और E1 वह घटना है जो 7 से गुणज है, तो

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